在连续纤维增强热塑性复合材料（Continuous Fiber Reinforced Thermoplastic Composites, CFRTPC）的熔融沉积成型中，单层填充路径一旦出现断点，机器就必须额外剪丝并重新引头。这不仅拖慢打印节奏，还会在接头处留下力学薄弱区。因此，若能在任意二维连通区域内规划出均匀且全局连续的填充轨迹，打印机便能像一笔画那样从头到尾不间断作业。这种连续成型方式大幅降低了工艺门槛，让低成本设备也能稳定输出复杂结构。
连续路径的生成方法可大致分为三类：
基于空间填充曲线
Zhao等人[1]在SIGGRAPH 2016上提出了一种连通费马螺线方法，核心目标是缩短打印机的空走行程。它的思路很清晰：先把二维区域划分成若干子块，然后在每一块内用一条低弯曲度的费马螺线填满，最后借助最小生成树把这些独立轨迹串联起来。这样生成的路径不仅连贯流畅，转折处也格外平缓。
这套方法的非常巧妙，而且工程实现的落地门槛很低。无论零件轮廓多复杂，只要先生成平行轮廓填充，轮廓线之间的连接关系就会自然划分出多个分区。这意味着开发者可以直接调用CLIPS等成熟的几何计算库，就能快速跑通整个流程，无需从头编写复杂的底层算法。
2022年，Bedel等人[2]在EUROGRAPHICS上发表了一项关于方向可控闭合填充路径的研究。它的核心思路是在节点网络中寻找一条不重复、能遍历所有区域的最优路线（哈密顿回路），来精确控制每一段纤维的沉积朝向。
这项工作有几个非常实用的思路。首先是多材料适配：它考虑了将打印区域划分为不同分区域，并为每个分区绑定独立的走向规则。关键部位严格对齐预设方向，非关键区域则允许灵活穿梭。其次，它明确的把打印路径的规划问题定义为全局优化23问题。从整体看，只要线宽固定，总长度就随之确定，核心目标就是不留空隙地铺满整个截面；从局部看，每一段轨迹的走向都必须与外部场（如受力方向或磁场）保持一致。为此，论文提炼了六条递进规则，像漏斗一样从上到下层层把关，最终产出连续、致密且无缝隙的填充轨迹。
为了兼顾求解效率与精度，作者把计算过程拆成了两步：先用组合算法确定路径的连接顺序与大致的行走路线，再用几何算法对曲线进行平滑处理与位置微调。其中第一步的组合优化可以表达为
这个公式描述的是组合优化器的打分逻辑。它的核心思想可以概括为：总评分等于跨区惩罚，加上权重乘以对齐与方向的一致性得分。其中 会尽量让路径停留在同种材料区域内，避免频繁跨越不同材料的交界面。这种方向控制机制非常灵活，通过调整参数就能让打印件表现出各向异性或各向同性的力学特征。不过在实际的多材料成型中，一味追求不跨区反而可能带来隐患：如果边界处的路径被强制截断或绕行过多，层间结合力会下降，甚至出现溢料、混色等工艺瑕疵。因此工程落地时通常会对这一项做适度松弛，在连续性与界面质量之间找平衡。
组合优化器确定好行走顺序后，几何优化器负责接管坐标微调。它的目标函数为：
这里的评分机制同样清晰：基础覆盖惩罚，叠加平滑度、总长度以及对齐方向的各项加权项。这一步完全聚焦于空间位置的微调，相当于在第一步画好的路线骨架上填充细节，让曲线既符合数学规则，又满足打印机的物理运动极限。
对照论文开源的代码实现，也能清晰看到这两阶段的流水线设计：先跑组合算法定路线拓扑，再迭代几何参数做轨迹平滑。这种分治策略的优势在于解耦了怎么走和走成什么样，因此很容易从二维平面扩展到三维曲面。我们后来在 SIGGRAPH 2024 上看到的《Surface-Filling Curve Flows via Implicit Medial Axes》正是这一思路的延伸——它借助隐式中轴面将填充流场投影到复杂几何体表面，但底层依然长度和几何优化的同一套逻辑。
Cocco与Chermain[3]将空间填充曲线的思路从平面推向了三维三角网格曲面。他们引入了一种隐式缝合技术，让生成的轨迹能够顺着预设的物理场方向自然贴合在起伏的曲面上。
这类方法在数学框架上十分严谨，跑出来的路径不仅连续致密，视觉呈现也格外精致。不过在实际计算中同样面临权衡：为了维持全局连续性，算法往往需要求解规模庞大的优化问题，耗时较长；同时，若想在局部精细调控纤维走向，还得提前构建好曲率场或方向场作为导航参考。
基于场驱动的方法
这类方法完全从工程需求出发，直接把物理力学问题转为场的定义，作为路径规划的底层约束。标准流程通常是先做有限元分析，提取出主应力线方向。接下来的实现分两条路：显式方法直接顺着应力走向一笔一笔画出轨迹；隐式方法则通过求解偏微分方程，将离散的应力数据平滑为连续的场分布图，再沿着等值线自然衍生出填充路径。
但是也会有问题，在复杂几何体上应用时，这类方法容易遇到一个典型难题：起点的随机性会导致路径密度失控。应力集中的区域轨迹会过度拥挤，而低应力区又容易发散稀疏。这种不均匀分布不仅拖慢打印节奏，还会造成局部纤维堆积或铺层不足，打印出来的工件又丑又乱，其实起不到增强的作用。
2021年，Chen等人[4]提出了一种基于应力场的连续路径生成方案，利用材料的各向异性将主应力方向直接映射为纤维走向。不过在实际跑通时发现，遇到复杂边界时轨迹很容易发散或间距突变。针对这个问题，我们在2022年开发了一套基于简单分区的场驱动方法[9]。核心思路是把复杂结构切分成若干规则分区（可以通过方向聚类实现），在在每个分区内用连续且方向可控的锯齿形曲线进行填充。这套方案在分区交界处同样需要处理路径衔接的问题，这与之前讨论的多材料打印都会面临界面结合处容易出现弱连接的问题。
把三维物理场投影到二维平面上确实能大幅简化计算，但实际成型过程始终发生在立体空间中。曼彻斯特大学Charlie C.L. Liu团队在这一方向做了大量的工作，他们发现真正的瓶颈在于多自由度加工设备的协同精度：当打印头在复杂曲面上做多维运动时，机械轴的配合稍有偏差，内部结构的致密性和表面质量就会明显下降。因此，场驱动方法从算得准到打得准，还需要跨越算法规划与硬件运动的最后一道门槛。
基于几何特征的方法
传统的锯齿形（Zigzag）扫描填充因为逻辑简单、一直是工程里的基础方案。但一旦遇到凹多边形这类复杂轮廓，直接扫描就会把路径切成大量断头路，全局连续性很难保住。为了打通这些断点，研究者陆续做了几轮迭代，包括Dwivedi与Kovacevic[5]较早尝试将大区域拆成若干子块，分别生成锯齿线后再拼接；Gomez等人[6]进一步优化了凸分解策略，有效压减了子区域数量，并引入轮廓线与内部填充混合的思路；Xia等人[7]则面向挤出式增材制造，跑通了一套全局连续的混合路径方案。
尽管这些算法在连续性上越做越成熟，但在实际成型时仍会碰到很多小的问题，包括沉积方向往往控得不精准，边界处的纤维间距容易忽密忽疏，子路径拼接处也容易留下生硬的折角或间隙。
针对这些问题，我们在2023年发表于Computer-Aided Design的论文[8]中提出了一套兼顾全局连续与局部方向控制的规划框架。技术底层依然沿用连续的Zigzag，但通过四个递进步骤做了系统升级：先用角度归一化统一基准线，再借助智能几何分解减少无效切割；接着在局部生成高质量轨迹段，最后通过全局连接优化把各段平滑缝合。这套流程既保留了算法的简单性，又保证纤维局部走向和填充间距容易控制，适合工实现。
方法对比
| 评估维度 | 空间填充曲线法 [1,2] | 物理场驱动法 [4,9] | 几何特征/Zigzag框架 [7,8,9] |
|---|---|---|---|
| 计算复杂度 | ，依赖全局优化或场求解 | 依赖偏微分方程/有限元，通常 | 贪心分解 + 局部优化，效率最高 |
| 方向控制 | 依赖预构造曲率/方向场，局部调节较难 | 由物理场直接驱动，各向异性自然映射 | 旋转矩阵+扫描线逻辑，任意角度精确可控 |
| 间距均匀性 | 边界易出现堆积或欠填 | 场强梯度处间距波动较大 | 目标函数显式约束宽度 ，填充密度稳定 |
| 设备兼容性 | 需高精度运动控制与复杂 G 代码解析 | 需实时场计算与动态路径修正 | 兼容低成本 FFF/FFF平台，无需在线剪丝/重引丝 |
| 后处理负担 | 截断点较多，纤维冗余严重 | 视应力分布而定，局部可能发散 | 全局连续，空行程优化后可降低 30% 以上能耗 |
总结
三类主流方法的分类其实并不准确，各类方法相互重叠。从整体上看，空间填充曲线通过数学优化求解，场驱动法关注于各类物理场的提取和处理，而基于几何特征的锯齿形扩展方案，则在计算效率与控制精度之间找到了最实用的平衡点。不过落到实际打印环节，这些新方法在工程实现中难以达到传统方法的打印质量，且前后处理步骤繁琐，整体成型失败率也偏高。随着多物理场耦合计算的成熟、AI介入路径优化，以及多自由度打印设备的普及，全局连续路径生成正朝着三维体素填充与动态在线调整的方向演进。我们也会挑出几项最具代表性的技术，逐一拆解它们的核心逻辑与工程表现。
参考文献
[1] Zhao H, Gu F, Huang Q X, et al. Connected Fermat spirals for layered fabrication[J]. ACM Transactions on Graphics, 2016, 35(4): 1-12. (SIGGRAPH 2016) DOI: 10.1145/2897824.2925958
[2] Bedel A, Coudert-Osmont Y, Martínez J, et al. Closed space-filling curves with controlled orientation for 3D printing[J]. Computer Graphics Forum, 2022, 41(2): 473-492. (Eurographics 2022) DOI: 10.1111/cgf.14488
[3] Cocco G, Chermain X. Field-aligned surface-filling curve via implicit stitching[J]. Computer Graphics Forum, 2026. (Eurographics 2026)
[4] Chen X, Fang G, Liao W, et al. Field-based toolpath generation for 3D printing continuous fibre reinforced thermoplastic composites[J]. Additive Manufacturing, 2021, 46: 102117.
[5] Dwivedi R, Kovacevic R. Automated torch path planning using polygon subdivision for solid freeform fabrication based on welding[J]. Journal of Manufacturing Systems, 2004, 23(4): 278-291. DOI: 10.1016/S0278-6125(04)80040-2
[6] Gomez G, Cortés C, Creus C, et al. Generation of continuous hybrid zig-zag and contour paths for 3D printing[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2022, 119: 1-18.
[7] Xia L, Ma G, et al. Globally continuous hybrid path for extrusion-based additive manufacturing[J]. Automation in Construction, 2022, 136: 104182.
[8] Ma Y, Yao Y, Yang J, et al. Global continuous toolpath planning with controllable local directions[J]. Computer-Aided Design, 2023, 103593. DOI: 10.1016/j.cad.2023.103593
[9] Hang Zhang, Yuan Yao, Yingxin Ma, Maximilian Lackner, Yunliang Jiang, A 3D printing tool-path generation strategy based on the partition of principal stress field for FFF Platform[J], The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2022.